Explications sommaires sur les modèles

Nous allons sur cette page donner une explication très sommaire d'un fonctionnement d'un modèle. Cette page n'a pas pour but de voux expliquer en détails le fonctionnement d'un modèle météo ou de vous amener à creer votre propre modèle mais tout simplement de donner les fondements et la base d'un modèle physique.
L'exposé ci dessous reste très léger vis à vis de la complexité du développement et la mise en oeuvre d'un modèle, il en va que les quelques lignes ne pourraient être representatives d'un travail approfondi d'un modélisateur. Je me suis basé ici sur des cours d'analyse numérique et d'un projet de modélisation sur le vent lors de mon cursus universitaire. Si un professionnel passe sur cette page et qu'il veut apporter sa participation, elle sera la bienvenue et peut nous contacter (rubrique "nous écrire").

I. Introduction
Un modèle météorologique est une representation numérisée de l'atmosphère et de ses propriétés. Pour réaliser une telle simulation, on se base sur les équations de Navier-Stockes , c'est à dire les équations de la mécanique des fluides.
Les équations de la mécanique utilisées sont:
-L'équation de la quantité de mouvement
-L'équation de la continuité
-L'équation de la thermodynamique
-La loi des gaz parfaits
Sans rentrer dans le formalisme mathématique des équations, l'équation de la quantité de mouvement est basée sur la deuxième loi de Newton c'est à dire que la somme des forces agissant sur une particule est égale à la masse par une accéleration. L'équation de la continuité stipule que la masse d'air dans un volume fermé reste constante au cours du mouvement de ce volume. L'équation de la thermodynamique exprime qu'au cours du mouvement d'une particule, la somme de la chaleur et de travail reçu par cette particule sert à augmenter son énergie interne. Enfin la loi des gaz parfaits permet de relier pression, température et volume.
La plupart de ces équations sont des équations aux dérivées partielles, elles ne possèdent pas de solutions analytiques mais par discrétisation, on arrive à trouver des solutions, ici c'est une discrétisation numérique.

II. Le modèle

Comme nos équations sont discrétisées, cela permet de les numériser en vue d'une représentation sur ordinateur. Or, ces équations sont dépendantes du temps et de l'espace, il est important de constituer "un repère" sur lesquelles elles vont s'appliquer. Nous n'aborderons pas l'assimilation des données dans les modèles (ce n'est pas mon domaine et cela est très compliqué), juste savoir que le but est d'entrer simultanément dans le modèle toutes les observations éffectuées par les stations, les navires ,les radiosondages ect...

II.1. Base du modèle: le maillage


Nous avons abordé dans le paragraphe précédent, une très légère esquisse de l'assimilation. Notre modèle a besoin de données pour effectuer les opérations qui vont s'effectuer sur ce que l'on appelle le maillage ou la grille de calcul.
Comme son nom l'indique c'est une grille qui peut-être de dimension deux ou trois auquel on rajoute la variable temps. Généralement en météorologie, on travaille sur des grilles en quatres dimensions puisque nous avons deux variables x et y dans le plan horizontal, une variable z suivant la verticale et la variable temps t. Ci dessous, voici une grille (nous nous limiterons à une grille 2D) carrée construite à partir des coordonnées lambert2 généralisées.

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Nous avons la coordonnée y sur l'axe des ordonnées et l'axe des x en abscisse, chaque point représente un noeud de maille. La distance entre chaque point est la taille de la maille que l'on appelera h, ici nous avons pris h constant sur les deux axes et entre chaque point; il s'avère que certains modèles ont des mailles variables, c'est à dire qu'il est possible d'agrandir notre maille ou de la réduire.
Le carré délimité par quatres points est la maille et chaque point est reperé par un couple de coordonnée (i,j) noté Pi,j avec i élément de x et j élément de y.
Soit la grille ci-dessous :

Je peux alors repérer mes points par ma notation Pi,j; mon premier noeud de maille va être repéré par les coordonnées P1,1 qui correspond au premier point en bas à gauche, en me décalant vers la droite, le second point sera P2,1 et le troisième point par P3,1. Maintenant, je me déplace suivant y alors on a au dessus de P1,1, le noeud P1,2 puis au dessus P2,1 on a P2,2 et enfin au dessus de P3,1 on a P3,2.
Enfin, pour définir les bords de la grille, c'est à dire aux points extrêmes, on impose des conditions appeléés conditions limites; il existe plusieurs types de conditions limites, on peut citer par exemple la condition limite de Dirichlet, ici on suppose que les valeurs de la fonction sont connues sur les bords. Mais il existe plusieurs types et plusieurs définitions de condition limites, il en existe beaucoup d'autres. Nous n'irons pas plus loin dans ce type de problème.

Il faut, bien entendu, adapter notre maille au problème. Il faut bien choisir le nombre de stations qui vont alimenter le modèle (dans le cas ou l'on veut représenter un paramètre météo) et reparties de manière équitable, ensuite adapter le pas d'espace (on pourra toujours le changer une fois notre problème résolu) et essayer de construire une grille carrée.
Il vient alors la procédure de calcul, c'est à ce moment que la résolution des équations intervient.

II.2 Le schéma numérique
Donc nous partons de nos stations disposées en des points précis de la maille, nous avons alors à chaque station donc au point Psi,j (point station au point i,j) une valeur du paramètre étudié. Il faut alors ensuite calculer pour chaque point de la maille une valeur du paramètre.
Pour ce faire, on applique un procédé mathématiquee: "l'interpolation".
Sans rentrer dans toute les méthodes d'interpolation, cela consiste par un calcul d'approximation de calculer de proche en proche les valeurs du paramètre en chaque point de la maille.
En météo, on utilise la méthode de type Krieging ou curvature. Vous pouvez voir le résultat d'un tel calcul dans la rubrique pluviométrie de MeteoSudEst.
Une fois que le calcul est fini, on obtient alors en chaque point de la maille, une valeur du paramètre et c'est à partir de ce moment que l'on rentre les équations qui vont permettre d'aboutir à la solution du problème.
On part de l'équation qui nous intéresse et on discrétise cette dernière sur notre maille de calcul: On construit ce que l'on appele:
Un schéma numérique
Un tel schéma est de la forme suivante:

Uj,n+1=Uj,n-K*(Uj+1,n-Uj-1,n)


U vitesse
K =v*k/2h v viscosité k pas de temps h pas d'espace
Ici nous avons pris l'exemple de l'équation prototype à une dimension du mouvement (la dérivée temporelle de la vitesse est égale au gradient de vitesse suivant x multiplié par la viscocité). Mais ce n'est pas ce qui est important dans notre cas. Cela sert juste pour l'exemple, on aurait pu prendre une autre équation.
Donc le schéma présenté est un schéma explicite précis à l'ordre 1. (Nous reviendrons sur le terme explicite plus bas).
Si on décrit notre schéma, U représente la vitesse, j la composante suivant x et n le temps. La vitesse au point j et au temps t+1 est égale à la vitesse au point j,n auquel on soustrait la différence entre la vitesse au point x+1 et x-1, le temps étant constant.
Sur le schéma ci-dessous, nous avons representé une partie de la grille de calcul avec nos points j et n avec en abscisse les x et en ordonnée le temps. Pour passer de x à x+1, je me déplace d'un pas d'espace h et pour passer de n à n+1, je me déplace d'un pas de temps k.


On regarde le schéma et on peut alors se reporter sur le graphique pour voir la correspondance des points sur notre maille.
Mais tout les schémas ne sont pas identiques et certains ne sont que peu utilisés. En effet, le schéma ci-dessus dit schéma explicite consiste à calculer la valeur au temps n+1 avec les données au temps n, au bout d'un certain nombre d'itération, le schéma devient instable, c'est à dire que la vitesse de calcul devient inférieureà la vitesse de propagation du phénomène étudié ou en d'autres termes, les erreurs de troncatures et d'arrondis s'amplifient au cours des opérations pas à pas.
De ce fait, il existe d'autres schémas:
-Schéma explicite (instable)
-Schéma implicite (stable)
-Schéma semi-implicite, inconditionnellement stable.

Enfin pour finir, une fois que l'on a établi notre schéma, il faut en vérifier sa stabilité, il y a des outils mathématiques qui permettent de le faire et en fonction du résultat notamment dans le cas instable, il possible d'introduire une nouvelle quantité qui rendra notre schéma stable.

Un dernier point: Après avoir constitué tout notre modèle, il faut le programmer. Généralement on utilise le langage Fortran, bien adapté au calcul scientifique. On peut également utiliser des logiciels très performants, notamment Matlab de Mathwork. On peut évidemment programmer en visual basic ou C/C++ mais le temps de calcul (si on utilise du vb) sera plus long par rapport au fortran ou C/C++.

III.Quelques analyses.


Nous allons voir d'après ce qui a été dit jusqu'a présent, son application sur les modèles.
Ici, nous allons voir surtout l'importance de la maille.
Pour une explication sur l'interprétation, vous pouvez vous reporterà la rubrique prévision et explication dans MétéoSudEst.
Ci-dessous un modèle établi par la Navy USA representant l'analyse à 500hpa du vent, de la température et du géopotentiel.


On peut aisement voir la maille grace au champ de vitesse, en chaque point de la maille, nous avons un vecteur vent. D'après les informations fournis sur leur site, la maille est de 110km, c'est à dire que nous avons une valeur de vent tout les 110km, ce qui correspond en gros à 1° de latitude. On peut alors s'amuser à calculer la surface d'un carré de la maille (si on suppose qu'elle est carré) ce qui donne une valeur de 12100km².
Nous comparons ce modèle au modèle suisse ETA. Carte representant l'analyse à 925hpa pour la température et le vent.


Ici, notre maille est de 22km (distance horizontale entre deux points). Si on admet que cette maille est carrée (pour simplifier) la surface d'un carré de la maille est 484km².
A noter que l'échelle de la carte géographique n'est pas la même sur les deux cartes.
On voit donc une nette différence entre les deux modèles et cela donne une importance capitale lors de l'analyse.
En effet, lors de l'analyse, nous n'aurons pas les mêmes résultats, avec de telles mailles, il est très difficile, voire utopique de faire de la prévision fine (prévision à l'échelle d'une ville), cela permet de dégager une tendance sur la région ou le département mais pas au dela auquel il faut rajouter l'erreur de positionnement des centres d'actions dus à la taille de la maille. Cela s'avère encore plus difficile lors de phénomènes orageux avec une très grosse incertitude sur la localisation des précipitations. En résumé, il ne faut pas essayer de faire dire au modèle ce qu'il ne voit.
Enfin, pour finir, je voudrais prendre un exemple illustrant le problème abordé ci-dessus.
Le 1 décembre 2003, de fortes précipitations se sont produites sur le sud-est de la France, le mauvais temps a perduré jusqu'au 5 décembre. A l'analyse des cartes, nous avons pu voir apparaitre la limite d'un modèle a distinguer les phénomènes à petite échelle donc du à un problème de maille.

A gauche, l'analyse de surface du 4 décembre 2003 à 00hUTC effectué par le Met-Office et à droite l'analyse du modèle GFS du 4 décembre 2003 à 00hUTC.
La première carte est tracée grace au réseau de station à travers le monde, l'ensemble des données issues des stations permet ensuite de tracer front, isobare, c'est un travail effectué par "l'homme". La deuxième carte est une d'analyse effectuée à partir d'un modèle numérique, réception des données, calculs et sortie de la carte, bien entendu ici le tracé va dépendre de la maille du modèle. L'analyse de surface permet de voir un centre dépressionnaire très creux sur le Golfe du Lion avec un minimum dépressionnaire à 999hPa avec un front froid en Méditerranée et un front chaud sur le Sud-Ouest du pays. La 1015 hPa vient frôler la Sicile et la 1010 hPa se situe sur la péninsule ibérique. A l'analyse du modèle GFS, (en se basant uniquement sur le champ de pression au sol, matérialisé par les courbes blanches, les couleurs en fond représentent le géopotentiel à 500hPa mais ici nous ne le traiterons pas). On retrouve notre 1015 au niveau de la Sicile et sur le Golfe du Lion, nous avons un Cut-off à 1010 hPa, la 1010 passe au large de la Corse et sur la Sardaigne or, au centre du 1010, le minimum dépressionnaire n'apparait pas!!. Ce n'est pas que le modèle est mauvais mais tout simplement que la maille est trop grosse pour prendre en compte ce minimum qui circule sur la Méditerranée, en d'autres termes, le minimum dépressionnaire est passé a travers la maille du modèle GFS. Donc si je fais une analyse uniquement avec le GFS, je vois que la Méditerrannée présente des pressions inférieures à 1010hpa mais je ne sais pas qu'il y a en realité, une dépression qui circule au large des côtes provençales.

J'espère avoir éclairci (un tout petit peu) la notion d'un modèle numérique mais le développement d'un modèle reste un gros travail et ne se limite pas au simple exposé ci-dessus.

Yohia Christophe